Filsafat Matematika
Wilkins,
DR, 2004, menjelaskan bahwa terdapat beberapa definisi tentang matematika yang berbeda-beda. Ahli
logika Whitehead menyatakan bahwa matematika dalam arti yang paling luas adalah
pengembangan semua jenis pengetahuan yang bersifat formal dan penalarannya bersifat deduktif. Boole berpendapat bahwa itu
matematika adalah ide-ide tentang jumlah dan kuantitas. Kant mengemukakan bahwa ilmu matematika
merupakan contoh yang paling cemerlang tentang bagaimana akal murni berhasil
bisa memperoleh kesuksesannya dengan bantuan pengalaman. Von Neumann percaya
bahwa sebagian besar inspirasi matematika terbaik berasal dari pengalaman. Riemann menyatakan bahwa jika dia hanya
memiliki teorema, maka ia bisa menemukan bukti cukup mudah. Kaplansky
menyatakan bahwa saat yang paling menarik adalah bukan di mana sesuatu terbukti
tapi di mana konsep baru ditemukan. Weyl menyatakan bahwa Tuhan ada karena
matematika adalah konsisten dan iblis ada karena kita tidak dapat membuktikan matematika
konsistensi ini. Hilbert menyimpulkan
bahwa ilmu matematika adalah kesatuan yang konsisten, yaitu sebuah struktur yang
tergantung pada vitalitas hubungan antara bagian-bagiannya, dan penemuan dalam
matematika dibuat dengan penyederhanaan metode, menghilangnya prosedur lama
yang telah kehilangan kegunaannya dan penyatuan kembali unsur-unsurnya untuk
menemukan konsep baru.
Hempel, CG, 2001, menegaskan kembali apa yang telah
dikemukakan oleh John Stuart Mill bahwa matematika itu sendiri merupakan ilmu
empiris yang berbeda dari cabang lain seperti astronomi, fisika, kimia, dll,
terutama dalam dua hal: materi pelajaran adalah lebih umum daripada apapun
lainnya dari penelitian ilmiah, dan proposisi yang telah diuji dan dikonfirmasi
ke tingkat yang lebih besar dibandingkan beberapa bagian yang paling mapan
astronomi atau fisika. Dengan demikian, sejauh mana hukum-hukum matematika
telah dibuktikan oleh pengalaman masa lalu umat manusia begitu luar biasa bahwa
kita telah dibenarkan olh teorema matematika dalam bentuk kualitatif berbeda
dari hipotesis baik dari cabang lain.
Hempel, CG, 2001, lebih lanjut menyatakan bahwa sekali
istilah primitif dan dalil-dalil yang telah ditetapkan, seluruh teori
sepenuhnya ditentukan. Dia menyimpulkan bahwa himpunaniap istilah dari teori
matematika adalah didefinisikan dalam hal primitif, dan himpunaniap proposisi
teori secara logis deducible dari postulat, adalah sepenuhnya tepat.
Perlu juga untuk menentukan prinsip-prinsip logika yang digunakan
dalam pembuktian proposisi matematika. Ia mengakui bahwa prinsip-prinsip dapat
dinyatakan secara eksplisit ke dalam kalimat primitif atau dalil-dalil logika.
Dengan menggabungkan analisis dari aspek sistem Peano, Hempel menerima tesis
dari logicism bahwa Matematika adalah cabang dari logika karena semua konsep
matematika, yaitu aritmatika, aljabar analisis, dan, dapat didefinisikan dalam
empat konsep dari logika murni, dan semua teorema matematika dapat disimpulkan
dari definisi tersebut melalui prinsip-prinsip logika. Bold, T., 2004,
menyatakan bahwa komponen penting dari matematika mencakup konsep angka
integer, pecahan, penambahan, perpecahan dan persamaan; di mana penambahan dan
pembagian terhubung dengan studi proposisi matematika dan konsep bilangan bulat
dan pecahan adalah elemen dari konsep-konsep matematika.
Bold, T., 2004, lebih lanjut menunjukkan bahwa elemen
penting kedua untuk interpretasi konsep matematika adalah kemampuan manusia
dari abstrak, yaitu kemampuan pikiran untuk mengetahui sifat abstrak dari dari
obyek dan menggunakannya tanpa kehadiran obyek. Karena kenyataan bahwa semua
matematika adalah abstrak, ia percaya bahwa salah satu motif dari intuitionists
untuk berpikir matematika adalah produk satu-satunya pikiran. Dia menambahkan
bahwa elemen penting ketiga adalah konsep infinity, sedangkan konsep tak
terbatas didasarkan pada konsep kemungkinan. Dengan demikian, konsep tak
terbatas bukan kuantitas, tetapi konsep yang bertumpu pada kemungkinan tak
terbatas, yang merupakan karakter dari kemungkinan. Berikutnya ia mengklaim
bahwa konsep pecahan hanya berdasarkan abstraksi dan kemungkinan. Menurut dia,
isu yang terlibat dengan bilangan rasional dan irasional sama sekali tidak
relevan untuk interpretasi konsep pecahan sebagaimana selalu dikhawatirkan oleh
Heyting Arend. Sejauh berkenaan dengan konsep-konsep matematika, bilangan
rasional sebagai n / p dan bilangan irasional dengan p adalah bilangan bulat, hanya
masalah cara berekspresi. Perbedaan antara mereka adalah masalah dalam
matematika untuk dijelaskan dengan istilah matematika dan bahasa.