Apakah hanya siku-siku, Teorema Pythagoras itu?

Apakah hanya siku-siku, Teorema Pythagoras itu?

Abstrak

Sering kita menemukan kasus dimana terdapat sebuah segitiga siku-siku dengan panjang masing-masing sisi tegaknya a dan b, serta c adalah sisi miring (hipotenusa) segitiga tersebut. Apa dan bagaimana hubungan antara ketiganya ?. Seorang matematikawan Yunani “Phytagoras” menyimpulkan suatu hubungan antara a, b, dan c dimana kuadrat sisi miring suatu segitiga siku sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi tegaknya. Lalu bagaimana dengan sudut yang kurang dari apakah nilai c akan berubah atau tidak. Kasus yang sering kita temui dalam permasalahan matematika yang berkaitan dengan Teorema Phytagoras hanya berlaku untuk segitiga siku-siku saja, tapi tidak pernah menyinggung bagaiman untuk segitiga yang bukan siku-siku misalnya segitiga tumpul atau segitiga lancip, apakah akan berlaku sama teorema phytagoras tersebut. Terkait dengan Teorema Pythagoras harus adanya pembuktian untuk mengetahui kebenaran dari Teorema Pythagoras ini.

A.           Pendahuluan

1.      Latar Belakang

Dalam matematika kita sering mendengar mengenai apa yang dimaksud dengan Phytagoras. Phytagoras biasanya kita temukan dalam materi Geometri, dimana teorema phytagoras ini digunakan untuk memebantu dalam pegerjaan soal geometri yang berhubungan dalam mecari nilai sebuah bangun datar maupun bangun ruang dimana mengaitkan antara tiga sisi sebuah segitiga siku-siku.

Teorema Phytagoras ini biasanya digunakan untuk sebuah segitiga siku-siku dengan berlakunya “ jumlah kuadrat sisi siku-siku sama dengan kuadrat sisi miringnya”. Phytagoras menyatakan bahwa “ untuk setiap segitiga siku-siku berlaku kuadrat panjang sisi miring (Hipotenusa) sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi siku-sikunya. Dari pernyataan diatas didapat bahwa teorema phytagoras untuk sudut yang besarnya  didapat rumus dengan besar kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat dari sisi yang lain. Atau dapat ditulis:

Rumus diatas untuk segitiga siku-siku yang memiliki sudut . Lalu bagaimana dengan sudut yang kurang dari apakah nilai c akan berubah atau tidak. Kasus yang sering kita temui dalam permasalahan matematika yang berkaitan dengan Teorema Phytagoras hanya berlaku untuk segitiga siku-siku saja, tapi tidak pernah menyinggung bagaiman untuk segitiga yang bukan siku-siku misalnya segitiga tumpul atau segitiga lancip, apakah akan berlaku sama teorema phytagoras tersebut. maka dari itu akan kita singgung mengenai Teorema Phytagoras untuk sudut yang bukan  melainkan sudut kurang dari .

2.    Rumusan Masalah

Rumusan masalah yang akan kita bahas yaitu:

1.      Menemukan Teorema Pythagoras untuk segitiga siku-siku

2.      Menemukan Teorema Pythagoras untuk segitiga dengan sudut kurang dari

3.    Tujuan

Tujuan dari makalah in yaitu:

1.      Untuk mengetahui bagaimana Teorema Phytagoras untuk segitiga dengan sudut kurang dari

2.      Untuk mengetahui bagaimana Teorema Phytagoras untuk segitiga siku-siku

B.            Pembahasan

1.    Apa itu Teorema Phytagoras

Teorema Phytagoras adalah suatu keterkaitan antara tiga sisi sebuah segitiga siku-siku. Teorema ini dinamakan berdasarkan nama matematikawan Yunani abad ke-6 SM, yaitu oleh Pythagoras.

 Seorang matematikawan Yunani “Phytagoras” menyimpulkan suatu hubungan antara a, b, dan c dimana kuadrat sisi miring suatu segitiga siku sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi tegaknya.  Ahli matematika yang sekaligus seorang musisi berbakat itu mencetuskan sebuah Teorema yang sering kita kenal dengan nama” Teorema Phytagoras”. .

Teorema ini biasanya digunakan dalam materi Geometri yang berkaitan dengan menghitung suatu bangun datar ataupun bangun ruang.

2.    Pembuktian Rumus Teorema Phytagoras

Terkait dengan Teorema Pythagoras harus adanya pembuktian untuk mengetahui kebenaran dari Teorema Pythagoras ini. Banyak sekali cara untuk membuktikan teorema ini, salah satunya dengan cara sebagai berikut:

 

Luas daerah persegi kecil dengan sisi c sama dengan luas persegi besar  dikurangi 4 kali luas daerah segitiga siku-siku. Secara aljabar dapat kita selesaikan menajdi:

 

Telah terbukti bagaimana rumus teorema pythagoras dala segitiga siku-siku, dengan c adalah sisi miring dan b sisi siku-siku segitiga.

Adapun pembuktian lain yaitu:

Perhatikan segitiga ABC  adalah segitiga siku-siku pada C. AC = b, BC = a, AB = c. Garis tinggiCD memotong AB menjadi AD dan BD, sebut AD = x dan BD = y dengan x+y = c.

3.    Pembuktian rumus teorema phytagoras untuk sudut lancip

Selanjutnya muncul sebuah pertanyaan apakah Teorema Phytagoras hanya berlaku untuk segitiga siku-siku ? Mencuatlah sebuah kasus bagaimana cara mencari nilai c (sisi miring  segitiga) pada segitiga bukan siku-siku. Mari kita ambil contoh pada segitiga lancip dimana sudutnya kurang dari .

Perhatikan segitiga berikut, Segitiga  ABC merupakan segitiga lancip dengan garis tinggi CD. AB = c, AD = x, BD = c-x, BC = a, dan AC = b .

Panjang AD = x, maka panjang BD = c-x, dengan AB = c

Perhatikan sagitiga ADC,

Perhatikan segitiga BDC,

Rumus lainnya juga dapat dibuktikan dengan cara seperti diatas, maka kita memperoleh,

Jadi, untuk mencari nilai c pada segitiga lancip tidak berlaku lagi teorema Phytagoras melainkan menggunakan aturan cosinus:

C.    Penutup

1.      Simpulan

Berdasarkan hasil pembuktian dan perhitungan yang dilakukan dapat ditarik suatu kesimpulan bahwa :

1.      Rumus Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku dapat dibuktikan dengan  banyak cara, salah satunya menggunakan cara menghitung luas persegi yang memuat segitiga siku-siku didalamnya, selain itu juga untuk membuktikan teorema ini dapat menggunakan perbandingan beberapa segitiga siku-siku yang memiliki sisi miring berbeda-beda. Dari kedua cara ini didapat Rumus Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku adalah , dengan c adalah sisi miring dari segitiga tersebu.

2.      Untuk Rumus Teorema Pythagoras pada segitiga lancip yang sudutnya kurang dari  ini dapat dibuktikan dengan menggunakan segitiga sembarang yang memuat sudut siku-siku dan sudut lancip. Dari segitiga sembarang tersebut dapat dibandingkan sudut yang ada dan sisi yang termuatnya. Sehingga dari pembuktian ini didapat Rumus Teorema Pythagoras untuk sudut lancip adalah , dengan c adalah sisi miringnya. maka dapat disimpulkan bahwa besar nilai c (sisi miring) pada segitiga lancip akan lebih kecil dari jumlah kuadrat sisi-sisi yang lainnya.

2.      Saran

Pada setiap pembelajaran matematika disekolah dalam menerapkan penggunaan Teorema Pythagoras yang digunakan untuk membantu memecahkan masalah dari matematika yang terkait, lebih diajarkan mengenai teorema pythagoras yang bukan sudut , sehingga anak akan lebih banyak pengetahuannya bahwa Teorema Pythagoras dapat digunakan untuk menghitung segitiga yang bukan siku-siku.